Dans un carré ABCD, soinet F le milieu du côté CD et E un point du côté AB tel que AE>EB. La parallèle à DE passant par F coupe le côté BC en H Démontrer que la droite EH tangente au cercle inscrit dans le carré ABCD
Prbm 2
Déterminer tous les entiers naturels x,y et z tels que x²+y²+z²=2xyz
Prbm 3
On considère n points A1 , A2 , ... , An sur un cercle Quel est le nombre de façons possibles pour colorier ces points en utilisant p couleurs de telle sorte que toute paire de points voisis soit colorée par deuxx couleurs différentes
Prbm 4
Soit S une partie formée de 21 nombres choisis dans l'ensemble {1,2,3,...,2046}. Démonter qu'il existe trois nombres a,b et c de S tels que: bc<2c²<4bc
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Sujet: Re: Olympiade N°2 Janvier Mar 24 Juil - 8:47
probleme 4:
supposns que S={a1,a2,...,a(21)} avec 1<=a1<a2<...<a(21)<=2046 supposons que klk soit b dans S il n y a pas d'elements de S dans {b+1,b+2,b+3,...,2b-1} donc klk soit i dans {1,2,..,20} on a a(i+1)>a(i) et a(i+1) n'appartient pas à {a(i)+1,a(i)+2,...,2a(i)-1} donc a(i+1)>=2a(i) d'ou a(21)>= (2^20)a(1)>= 2^(20)>2047 (absurd)
donc il exist un element b dans S tel qu'il y a un elements c de S dans {b+1,b+2,b+3,...,2b-1} d'ou b<c<2b donc bc<c²<2c² et 2c²<4bc
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Sujet: Re: Olympiade N°2 Janvier Mar 24 Juil - 9:23
Problem 2
x²+y²+z²=2xyz , x,y,z ne peux pas etre tous impair donc x,y, ou z est pair d'ou 4|x²+y²+z² donc x,y,z sont tous pair posons donc x=2(x1),y=2(y1),z=2(z1) d'ou (x1)²+(y1)²+(z1)²=4(x1)(y1)(z1) de meme 4|(x1)²+(y1)²+(z1)² donne x1,y1,z1 sont tous pair et on pose donc (x1)=2(x2),(y1)=2(y2),(z1)=2(z2) et on a (x2)²+(y2)²+(z2)²=8(x1)(y1)(z1) ... ...etc ... et on trouver que klk soit n, il existent xn,yn,zn tel que x=(2^n)xn,y=(2^n)yn,z=(2^n)zn d'ou x=y=z=0
Dim 7 Jan - 9:20
