Olympiade N°1 Novembre

Prbm 1:
Déterminer tous les triplets ordonnés de nombres réels (x; y; z), satisfaisant le systéme
d’équations qui suit:
{ xy = z - x - y
{ xz = y - x - z
{ yz = x - y - z

Prbm 2:
Soient A, B, C et D quatre points sur un cercle (s’y retrouvant en sens horaire), tels que AB < AD et BC > CD. La bissectrice de l’angle BAD rencontre le cercle en X; la bissectrice de l’angle BCD rencontre le cercle en Y . Considérer l’hexagone formé par ces six points sur le cercle. Montrer que si quatre des six côtés de cet hexagone
ont longueurs égales, alors BD est un diamètre du cercle.

Prbm 3:
Soit T l’ensemble des diviseurs entiers positifs de 2004*100. Quel est la plus grande
valeur possible pour le nombre d’éléments d’un sous-ensemble S de T, tel qu’aucun
élément de S est un multiple entier d’un autre élément de S?

Bn courage a tt le monde
moi je prefere que vous m'envoye les solution par email comme sa on va laisser le temps pour les autre pour tenter leurs chance, et aprés vous declare que vous avez poste votre reponse sur le site

Mon adress Email c'est mpsimaths@hotmail.com




قل بسم الله،و توكل على الحي الذي لا يموت،عساه يجعل لك مخرجا

1- S={(0,0,0) ,(0,-2,-2) ;(-2,0,-2) ;(-2,-2,0),(-1,-1,-1)}

Salut aissa toutes mes félicitation
t'as juste moi aussi j'ai trouve la meme solution





قل بسم الله،و توكل على الحي الذي لا يموت،عساه يجعل لك مخرجا

probleme 1

soit f(x)=x(x+2), f(a)=f(b) donne a=b ou a+b=-2
on trouve facilement que xyz=f(x)=f(y)=f(z)
donc on a surement x=y ou y=z ou z=x
supposons que x=y,on aura:
{ x² = z - 2x
{ xz = - z
{ x = y
d'ou si z=x=yon a x=y=z=0 ou -1
si z+x=-2 on a: x=y=-2 et z=0
d'ou (x,y,z)=une permutaion de (-1,-1,-1),(0,0,0) ou (-2,-2,0)