[Mpsi]Espace vectorielle, Propriété a savoir

soit x dans Ker(f) inter Ker(g).
donc (f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0
donc x=0 car f+g bijectif .
par suite Ker(f) inter Ker(g)={0}
donc (1): dim(Ker(f)+Ker(g))=dim(ker(f))+dim(ker(g))

en plus f o g = 0 donc Im(g) inclus dans Ker(f)
donc rg(g)<=dim(ker(f))
n-dim(ker(g))<=dim(ker(f))
(2): dim(ker(f))+dim(Ker(g))>=n.

de (1) et (2) on a dim(Ker(f)+Ker(g))>=n
donc dim(Ker(f)+Ker(g))=n.
donc dim(ker(f))+dim(ker(g))=n
n-rg(f)+n-rg(g)=n
rg(f)+rg(g)=n