[1ére]Probléme d'integrale

Soit


Où n est un entier positif ou nul quelconque.

1. Calculez I0 et I1
   
2. Montrez, par une intégration par parties, que
   
   
   
   Remarque : ne pas calculer explicitement la valeur de In
   
3. Exprimez
   
   
   
   en fonction de In
   
4. Montrez que
   
   
   
   

~

I0=e-1 et I1=1 pour la 2éme en peux raisoner avec une simple recurrance, mais je vois que le travail demander c'est une intégration par parti je crois qu on peux prendre u(x)'=1 et v(x)=(lnx)^n

1° I0=e-1 , I1=1
2° Par Integration par partie en pose U(x)=lnx)^n ==> U'(x)=n/x lnx)^(n-1)
De méme V'(x) =1 ==> V(x) = x
je pose le sympole de l integrale c'est §
§ lnx)^n = § xlnx)^n - § nlnx)^(n-1)
D'où le resultat
et comme a dit AmineX on peut raisoner par recurrence mais la réponse dois étre aec l'integration par parti

3° on pose U=ln X ==> dU=1/x dx , exp(u)=x , et les borne 1 -> e et 0 -> 1
donc §u^nexp(u)du= In

4° on peut remarque que 0<u<1 donc u^n>u^(n+1)
aprés vous déduiser on utilison la question précedente
§u^(n+1)exp(u)du=In+1
§u^n exp(u)du= In