soit E={a|f(a)=1} qui n'est pas vide et soit m=Min(E)
soit x appartiens E,
on a f(x+f(x))=f(x)=1
donc f(x+1)=1
donc x+1 appartiens à E.
par suite E={x|x>=m}.
donc quelque soit n>=m: f(n)=1
soit k<m
maintenant soit la suit (V_n), tel que V_0=k,V_{n+1}=f(V_[n})+V_{n} et
on a f(V_{n+1})=f(V_{n})
donc quelque soit n, f(V_{n})=f(k) par suite V_{n}<m.((V_n) bornée)
si f(k)>0 alors V_{n+1}-V_{n}>0 et donc (V_n) n'est pas bornée (absurde)
donc f(k)=0
conclusion:
soit m quelconque.
f(n)=1 si n>=m
f(n)=0 si m>n>=0
receproquement
quelque soit m,
f est bien une solution
car si n>=m, f(n+f(n))=1=f(n)
et si n<m, f(n+f(n))=f(n+0)+f(n)
Sam 3 Mar - 8:34
qui prennent la valeur 
et qui vérifient l'équation fonctionnelle suivante : 
