Probléme de la semaine N°9

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

mpsichifo@hotmail.com


(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"

Merci



قل بسم الله،و توكل على الحي اجالذي لا يموت،عساه يجعل لك مخر

slt a tout le monde
solution postee
Voici la solution de Sinchy
on pose t=rac(x) ==> t^2n=x^n et (t^2n-1)/(t²-1)=sum(0-->n-1)t^2k=n(1+t²+.....+t^2(n-1))/n>=n(t²*t^4*.......*t^2(n-1))^1/n (IAG) t>1
donc (t^2n-1)/(t²-1)>=nt^(n-1)
et on remplace t par rac(x

Salut
solution posté !!!
Voici la solution de Amine X
on pose t=raciing(x)
donc l'enégalité devient 1/n(t^2n-1)/t²-1 >= t^(n-1)ort^2n-1/t²-1 =sum t^2k c'es la moyenne arithemetique appliquant l IAG d'ou le resultat

Salam
solution postée
Voici la solution de Aissalh
x>1 n entier montrons que x^n-1 >=n(x^(n+1)/2 - x^(n-1)/2) (1) pour n=0 ou n= 1 ok.
si n>=2 alors (1) est <=> (V(x)^n - 1/V(x)^n)>= n(V(x) - 1/V(x)) <=> y^n - 1/y^n >= n(y - 1/y) avec y= V(x) racine de x
<=> y^n - ny >= 1/y^n - n 1/y ce qu'est tj vrai car pour y> 1
on a y^n -ny>=0 et 1/y^n - n 1/y =< 0.
CQFD

Bonsoir
solution postée
Voici la solution de Khamaths
Bonjour
Montrons par récurrence cet inégalitée:
(*)pour n=1: l'inégalitée est vraie
(*)supposons qu'elle est vraie pour uncertain et montrons qu'elle est vraie pour n+1
x^(n+1) -1 =x(x^n -1} +x-1 >= nx(x^{(n+1)/2} -x^{(n-1)/2})+x^{-n/2}(x^{(n+2)/2}-x^n/2)
= (nx^{1/2} + x^{-n/2})(x^{n+2)/2} - x^{n/2})
posons t=x^{1/2}>=1et montrons que : nt +1/t^n >= n+1 soit: fn(t)=nt^{n+1}- (n+1)t^n +1
une petite étude de la fonction fn montre qu'elle est strictement croissante sur [1;+00[
====> fn(t) >= 0 pour tt t >=1
D'où le résultat