[MPSI] Les incountournables polynômes de Tchebychev

On considère la suite de polynômes définie par :


1. Déterminer, pour tout , le degré, le coefficient dominant, et la parité de .
2. Montrer que pour tout , et pour tout , .
3. On se propose dans cette question d'expliciter tous les coefficients des polynômes . Soit .
(a) En dérivant , établir l'égalité : .
(b) On pose alors .
i. Mettre la quantité sous la forme .
ii. En déduire alors la relation entre a_{k+2} et a_k, puis établir, pour tout , une expression de à l'aide de factorielles. Ecrire finalement .

pour le 3 par reccurence
con(nt)+cos(n+2)t=2cos(n+1)cos(t) ........ puis deduire l'expression
https://mpsimaths.bbactif.com/Exclusive-Etudiants-des-cpge-c1/Algebre-f2/chaud-exercice-t75.htm