la saga des problemes du milenaire

Problèmes du prix du millénaire

Les Problèmes du prix du millénaire comptent 7 défis mathématiques réputés insurmontables. La résolution de chacun des problèmes est assorti d'un prix d'un million de $.

Chacun des défis consiste à soit :

* démontrer une hypothèse ou une conjecture qui n'a été ni confirmée ni rejetée faute d'une démonstration mathématique suffisamment rigoureuse, ou
* définir et expliciter l'ensemble des solutions de certaines équations

Chacune de ces solutions permettra de solidifier les bases théoriques dans certains champs de la mathématique dits fondamentaux, et constituera un important tremplin qui servira à approfondir les connaissances mathématiques fondamentales.

Si la solution proposée par publication pour résoudre l'un de ces problèmes est largement acceptée par la communauté des mathématiciens au bout de 2 ans, alors le Clay Mathematical Institute remettra un million USD à la personne ou au groupe qui l'aura formulé.

Certains de ces problèmes font partie des problèmes de Hilbert non résolus.

La liste des problemes:

-Hypothèse de Riemann
-Conjecture de Poincaré:Grigori Perelman a démontré cette conjecture en 2003, sa démonstration validée en 2006.
-Problème ouvert P-NP
-Conjecture de Hodge
-Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
-Équations de Navier-Stokes:Ces équations sont fondamentales pour expliquer le comportement des fluides en aérodynamique. Il existe des solutions partielles, mais aucune solution générale n'est encore proposée au XXIe siècle.
-Équations de Yang-Mills

l'hypothese de Riemann

hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction Zeta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers.

Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXIe siècle : elle est l'un des fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, et fait l'objet d'un des problèmes Clay pour le troisième millénaire, doté d'un prix d'un million d'USD !

Historique

Riemann mentionna la conjecture, qui sera appelée plus tard hypothèse de Riemann, dans son article paru en 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée)[1], mais cette conjecture n'étant pas le sujet principal de son article, il n'attend pas de démonstration. Riemann savait que les zéros non triviaux de la fonction Zeta étaient distribués symétriquement autour de la ligne et savait que tous les zéros non triviaux se trouvaient dans la bande .

tests numeriques

En l'absence de démonstration validée par la communauté internationale des mathématiciens, Andrew M. Odlyzko s'est spécialisé dans le calcul numérique des zéros non triviaux de la fonction Zeta. On affirme ainsi généralement que le milliard et demi de zéros calculés vérifient tous l'hypothèse de Riemann ; ce qui signifie qu'ils sont positionnés assez près, de la droite critique (au sens que l'imprécision de calcul est telle qu'ils peuvent y être exactement).

La conjecture de Poicaré

conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions.

Jusqu'à l'annonce de sa résolution par Grigori Perelman en 2003, il s'agissait d'un problème de topologie non résolu. Il est considéré par la communauté des spécialistes comme le plus important de cette branche des mathématiques et est sans doute l'un des problèmes les plus connus. Il fait partie des sept problèmes du Prix du millénium listés en 2000 par l'Institut de mathématiques Clay.

a conjecture fut formulée pour la première fois par Henri Poincaré en 1904, et s'énonce ainsi :

« Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. »

Poincaré ajouta, avec beaucoup de clairvoyance, un commentaire : « mais cette question nous entraînerait trop loin ».

Précisément, la question est de savoir si toute variété de dimension 3 fermée, simplement connexe et sans bord est homéomorphe à une sphère. Plus grossièrement, si « un objet à trois dimensions » donné possède les mêmes propriétés que celles d'une sphère (notamment que toutes les boucles de celui-ci peuvent être resserrées en un point), alors il est juste une « déformation » d'une sphère tridimensionnelle (la sphère ordinaire, surface dans — l'espace ordinaire —, possède seulement deux dimensions).

Notons que ni la sphère ni un autre espace tridimensionnel dépourvu de frontière autre que \mathbb{R}^3 (l'espace ordinaire) ne peuvent être dessinés proprement comme objets dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la conjecture.

Vers la fin de l'année 2002, des publications sur l'arXiv de Grigori Perelman de l'institut de mathématiques Steklov de Saint-Pétersbourg laissent penser qu'il pourrait avoir trouvé une preuve de la « conjecture de géométrisation » (voir plus ci-dessous), mettant en œuvre un programme décrit plus tôt par Richard Hamilton. En 2003, il publia un deuxième rapport et donna une série de conférences aux États-Unis. En 2006, un consensus d'experts a conclu que le travail récent de Grigori Perelman en 2003 résolvait ce problème, plus d'un siècle après son premier énoncé. Cette reconnaissance a été annoncée officiellement lors du congrès international de mathématiques le 22 Août 2006 à Madrid au cours duquel la médaille Fields lui a été décernée conjointement avec trois autres mathématiciens. Cependant Perelman a refusé la médaille et la somme qui l'accompagne. Perelman a également refusé le prix Clay.

Conjecture de Hodge

La conjecture de Hodge est une des grandes conjectures de géométrie algébrique. Elle établit un lien entre la topologie algébrique d'une variété algébrique complexe non singulière et sa géometrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. Elle provient d'un résultat du mathématicien W. V. D. Hodge qui, entre 1930 et 1940, a enrichi la description de la cohomologie de De Rham afin d'y inclure des structures présentes dans le cas des variétés algébriques (qui peuvent s'étendre à d'autres cas).

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

En mathématiques, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer relie le rang du groupe abélien de points sur un corps de nombres d'une courbe elliptique E à l'ordre du zéro de la fonction L associée L(E,s) pour s = 1.

Ouverte de puis plus de quarante ans, la conjecture n'a été prouvée que dans des cas particuliers. Largement reconnue comme un des problèmes mathématiques les plus difficiles et les plus profonds encore ouverts à la fin du XXe siècle, elle est un des sept problèmes du prix du millénaire pour lesquels le Clay Mathematics Institute offre un prix d'un million de dollars US.

voici un ennoncé un peu plus précis:
Considérons une courbe elliptique sur \mathbb{Q}. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l'ordre d'annulation de la fonction L de cette courbe elliptique en s=1 est égal au rang de cette même courbe. Elle prédit même la valeur du premier terme non-nul dans le développement limité en s=1 de cette fonction L.

Équations de Navier-Stokes

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides dans l'approximation des milieux continus. Elles gouvernent par exemple les mouvements de l'air de l'atmosphère, les courants océaniques, l'écoulement de l'eau dans un tuyau, et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de fluides. Elles sont nommées d'après deux physiciens du XIXe siècle, Claude Navier et George Stokes. Notons qu'il est possible de démontrer les équations de Navier-Stokes à partir de l'équation de Boltzmann.

La résolution de l'équation de Navier-Stokes est extrêmement difficile. À la complexité inhérente aux équations aux dérivées partielles s'ajoutent celle de la non-linéarité introduite par le terme d'advection de l'accélération. La plupart du temps, on essaie de résoudre une version simplifiée de l'équation en éliminant l'un de ces termes. Par exemple, à faible nombre de Reynolds, on peut négliger le terme advectif (écoulement de Stokes) et à fort nombre de Reynolds, on s'affranchit de la viscosité (équation d'Euler).

Équations de Yang-Mills

Une théorie de Yang-Mills est un type de théorie de jauge non-abélienne, dont le premier exemple a été introduit dans les années 1950 par les physiciens Chen Ning Yang, et Robert Mills pour obtenir une description cohérente de l'interaction faible au sein des noyaux atomiques. Depuis, il a été réalisé que ce type de théorie, une fois incorporé dans le cadre de la théorie quantique des champs, permet une description de l'ensemble des interactions fondamentales de la physique microscopique et est à la base conceptuelle du modèle standard[1].

Son expression mathématique moderne fait appel aux outils de la géométrie différentielle et des espaces fibrés. Bien que la formulation et le cadre géométrique de la théorie de Yang-Mills classique soient bien connus depuis longtemps, deux propriétés fondamentales n'ont toujours pas été démontrées mathématiquement :

* D'une part l’existence d'une théorie quantique des champs cohérente, basée sur une théorie de Yang-Mills, n'a toujours pas été démontrée[2].

* L'existence d'un gap de masse qui ne permet l'observation les gluons, particules élémentaires de la théorie quantique associée toute théorie de Yang-Mills, que sous forme de combinaisons massives appelées boule de glue (glueball en anglais). Ce problème non résolu est intimement lié à celui du confinement de couleur qui affirme que seuls sont observables les états quantiques de charge nulle.

La résolution de ces deux points constitue l'un des problèmes du prix du millénaire[3].

En dehors de ces aspects associés à la physique quantique, la théorie de Yang-Mills classique est hautement non-linéaire et les équations de Yang-Mills qui lui sont associées sont très difficiles à résoudre de façon exacte en dehors de cas particuliers. C'est cette non-linéarité, associée à une structure géométrique riche, qui donne aux théories de Yang-Mills toute leur complexité et en fait un sujet de recherche actif à la fois en mathématiques et en physique théorique.

Le Problème P versus NP(Théorie de la complexité)

La théorie de la complexité s'intéresse à l'étude formelle de la difficulté des problèmes en informatique. Elle se distingue de la théorie de la calculabilité qui s'attache à savoir si un problème peut être résolu par un ordinateur. La théorie de la complexité se concentre donc sur les problèmes qui peuvent effectivement être résolus, la question étant de savoir s'ils peuvent être résolus efficacement ou pas en se basant sur une estimation (théorique) des temps de calcul et des besoins en mémoire informatique.