Prouver La densité D'un Ensemble

on pose V(x)=racine carré de x

soit p dans N*,
soit n dans I=[|p²,(p+1)²|[
(*) supposons qu'il existe k dans [0,p-1] tel que,
klk soit n dans I, r(n) n'appartient pas à [k/p,(k+1)/p].
on a r(p²)=0 appartiens à [0,1/p]
et r((p+1)²-1)=V((p+1)²-1)-p appartiens à [(p-1)/p,1]
donc si un telle k existe il doit appartenir à [1,p-2].
soit A={n dans I | r(n)<k/p} et B={n dans I | r(n)>=(k+1)/p}
i) 0 in A et (p-1)²-1 in B donc A et B non vide.
ii) AUB=I
iii) A et B sont bornée.
donc il est evident qu'il exist a dans I tel que a=Max(A)=Min(B)-1.
et on a alors r(a)<k/p et r(a+1)>(k+1)/p
donc r(a+1)-r(a)>1/p
alors V(a+1)-V(a)>1/p
alors (2V(a))^-1 >V(a+1)-V(a)>1/p
alors 2p<=2V(a)<p absurde
donc (*) est faux.
et par suite klksoit k dans [0,p-1] il exist n dans I tel que k/p<=r(n)<=(k+1)/p.

conclusion;
(1):klksoit (p,k) avec k<=p, il existe n dans I tel que k/p<=r(n)<=(k+1)/p.

soit x,y danx [0,1[ avec x<y
on prend p=E(3/(y-x))+1
on a alors la longeur de [x,y] est > 3/p.
donc si on fait une subdivision de [0,1[ en p parties de la forme [k/p,(k+1)/p[.
l'intervalle ]x,y[ va surement contenir 2 intervalle successive.
c-a-dire qu'il exsite k<=p tel que [k/p,(k+2)/p[ iclus dans ]x,y[.
et on a alors [k/p,(k+1)/p] inclus dans ]x,y[.
et d'apres (1) il exsite n tel que r(n) dans [k/p,(k+1)/p] et donc r(n) dans ]x,y[.

maintement on peux dire que {r(n)=V(n+1)-E(V(n+1))} dense dans [0,1[

dsl si j'ai fait une long solution, j voulais faire moin de ligne mais j'ai detaillé un peu