f(0)²=f(0), donc f(0)=0 ou 1
si f(0)=0
alors klksoit x, f(x)=f(x+0)=f(0)f(x)=0,
f=0
si f(0)=1.
il existe h tel que f est continu en h,( lim(x->h)f(x)=f(h) )
soit b dans R,
lim(x->b)f(x)=lim(x->h)f(b+x-h)=lim(x->h)f(b-h)f(x)=f(b-h)f(h)=f(b-h+h)=f(b).
donc f est continue sur R.
puisque f(0)>0 alors il existe c tel que f est >0 sur l'intervalle [c,0]
soit x dans R+, il est clair que f(x)=f(c)^[x/c] . f(x-c[x/c])>0
donc f est strictement positif sur R+,
et on a f(-x)f(x)=1 donc f(x) et f(-x) ont meme signe et different de 0.
et par suite f est strictement positive sur R.
on a alors le droit d'utiliser la fonction Ln:x->Ln(x) qui est definie sur R+*
on a Ln(f(x+y))=Ln(f(x))+Ln(f(y))
on pose g(x)=ln(f(x))
on a g(x+y)=g(x)+g(y)
et g continue sur R.
on trouve facilment que g(x)=dx avec d dans R
et donc f(x)=e^{dx}
Ven 2 Mar - 8:30
