D'aprés l ENS

Citation :

Dans R² muni d'une norme quelconque, pour un réel >0 e ,on dit qu'une partie A d'un compact K e-recouvre K si K est inclus dans l'unnion des boules fermées
B(a,e) pour a décrivant A ;

Montrer qu'il existe un entier n(e) telle toute partie e-recouvrant K contienne au moins n(e) éléments. Ensuite montrer qu'il existe une partie A qui e-recouvre K et qui contient exactement n(e) éléments.

je viens de voir le cour des compacts just pour resoudre cet exo,
c'est interessant, merci amineX.

soir e>0
et soitent k un compact de R² et A un e-recouvrement de K. alors on peux extraire un e-recouverement fini de k (car K compacts.)
notons de recouvrement fini f(A).
maintenant soit E={|f(A)|: A e-recouvrement de K}
E est une partie non vide de N*, donc il admet un min,
on prend donc n(e)=min(E).
donc on peux conclure facilement deux chose:

1) tout e-recouvrement de A contiens au moin card(f(A)) elements et on a card(f(A))>=n(e) ( par definition de min )
d'ou toute partie e-recouvrant K contienne au moins n(e) éléments.

2) par definition de min aussi, on peux conclure qu'il exist A qui recouver K tel que card(f(A))=n(e)
et on a donc f(A) un e-recouvrement de K qui as exactement n(e) elements

moi aussi j'ai pas encore lu le cours de compact