Théorème de Cayley-Hamilton

Citation :

1/ Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables dans Mn(C) est dense dans Mn(C)
2/ En déduire une preuve du théorème de Cayley-Hamilton : pour M dans Mn(C), le polynôme caratéristique de M annule M

Salut , soit A £ Mn(C) puisque C est algebriquement Clos , le polynome Caracteristique de A est scinde donc est trigonalisable , c-a-d il existe P £ GLn(C) A=P-1TP avec T est triangulaire superieur

il faut construire une matrice A_s tel que s £ IR*+ qui tend vers A lorsque s tend vers 0

voila la demonstration la plus astucieuse jamais faite de ce theroeme
on a (A-xI)*tr(Com(A-xI))=det(A-xI)*I
en posant P le polynome caractéristique de A
on a
((A-xI)*tr(Com(A-xI))=p(x)*I
soit pour x=A
on p(A)=0(la matrice nulle)[/b]
d'ou le resultat
cette demonstration que j'ai proposé en math sup a mon prof a marrek n'a pas passé inapercu ,il n'a pas voulu l'accepter sous pretexte qu'elle est trooop courte ,mais il a finit par admettre qu'elle correcte .
ceux qui veulent discuter cette demonstration ,voila mon msn Ahmed_-1@hotmail.com p[/u][/b]

moi aussi j'aimerai bien , voila , cherif_119@hotmail.com