un chaud exercice d'analyse

Soient a et b des réels tels que a n'appartient pas à {0,1}
Soit h(x)= ax+b
On cherche les fonctions f dérivables telles que fof=h
- Montrer qu'il n'ya pas de solution si a est négatif
- Si a>0, montrer que h est une homothétie et que f=h^(-1)ofoh
En déduire l'expression de f

1- si a<o alors h est strictement décroissante
or fof est croissante...
2-si a>o alors h est l'homotecie de centre : b/(1-a)
et de rapport k=a (abus de langage).
et on a : h^-1ofof=id => h^-1ofofof=f => h^-1ofoh=f alors
f(x)=1/a*f(ax+b)-b/a donc f(ax+b)=af(x)+b
af'(ax+b)=af'(x) alors f' est constante
alors f est affine..f(x)=sqrt(a)x+b/(1+sqrt(a)) convient.

Supposons qu'il existe f satisfaisant cette équation.

(fof)'=h'=a

a<0 nous donne (fof) décroissante sur IR.

h est bijective donc f l'est aussi.(paske c'est fof=bij donc f inj et surj)

On a donc f:IR -> IR

f est dérivable sur IR, donc continue sur IR. f est bijective de IR dans IR, donc on peut supposer f strictement monotone sur IR.

Donc, (fof) est strictement croissante sur IR.

Contradiction.