Prouvez k elle est constante

voici un nouveau exo
soit I UN INTERVALLE DE R et f une fonction
supposons f(I) fini prouvez que f est constante

tuveu dire que f(I)= [l n;m l]

je veux dire ke f(i) est egale à un ensemble

utiliser : TVI

Sinchy a écrit:

utiliser : TVI

pouvez vous eclaircir plus cmt utiliser le TVI ds ce prob

selement la definition de TVI

un schema

soit I un intervalle de IR f:I-->IR continue , et a,b £ I f(a)<=f(b) alors f atteint une valeur intermediare entre f(a) et f(b) c-a-t qlq µ £ [f(a),f(b)] existe c £ I f(c)=µ

Riemann a écrit:

voici un nouveau exo
soit I UN INTERVALLE DE R et f une fonction
supposons f(I) fini prouvez que f est constante

salut riemann

1er solutioin

on peux prendre f(I)={a1,a2,a3,...,am} ou m>0 tel que a1<a2<a3<...<am et f(xi)=ai pour i dans {1,2,..,m}

supposons que m>1
on a donc f(x1)=a1<a2=f(x_2)
donc il existe c dans I tel que a_1<f(c)<a_2 (car f est continue)
et puisque on a f(c) dans {a1,a2,a3,...,am} et f(c) diffenrent de a1 et a2
donc f(c) dans {a3,a4,...,am}
d'ou il existe i>=3 tel que f(c)=ai>a3>a2 absurde car f(c)<2
d'ou m=1
et donc f est une constante.

desolé, si j'ai fait bcp de detaille.

2eme solution bcp plus courte
supposons qu'il existe a,b dans I tel que f(a) different de f(b)
puisque f est continue alors f(I) contine l'intervalle [min(f(a),f(b) ; max(f(a),f(b))]
d'ou f(I) est infini (absurde)
donc quelque soit a,b dans I: f(a)=f(b) et par suite f est constante