la biographie de l un des piliers des mathematiques modernes

Hilbert

professeur à l'université de Königsberg, sa ville natale, puis à Göttingen (1895) jusqu'à sa retraite (1930), Hilbert rencontrera et se liera d'amitié avec les plus grands mathématiciens de l'époque dont : Cantor, Fuchs, Hermite, Klein, Kummer, Kronecker, Lindemann (dont il reprit la chaire à Göttingen ), Poincaré, Weierstrass.

L'un des plus grands (le ?) mathématiciens du 20è siècle. Partisan d'un formalisme rigoureux, les travaux de Hilbert se situent dans l'axiomatisation de la géométrie euclidienne (1899, Grundlagen der Geometrie : fondements de la géométrie, suite aux travaux de Klein), dans la construction d'espaces vectoriels topologiques et fonctionnels abstraits sur R ou C (espaces hilbertiens) englobant les espaces vectoriels euclidiens (en hommage à Euclide) et hermitiens (en hommage à Hermite), dans le développement de l'analyse fonctionnelle, de l'algèbre (anneaux de polynômes), de la théorie des nombres.

Sa volonté fut ainsi de reconstruire les mathématiques sur des fondements axiomatiques, indépendamment de la logique ensembliste. Il réussit la reconstruction de la géométrie euclidienne : cinq groupes de quatre axiomes, dont quinze équivalent à ceux d'Euclide. On y trouve, en particulier, l'axiome d'Archimède pour les segments et l'axiome de Pasch, non explicités par Euclide. Il est alors désormais clair que la géométrie euclidienne avec ou sans le célèbre 5è postulat est consistante (elle n’engendre pas de contradiction).

La géométrie de Hilbert, étude de Fabien Besnard : http://perso.wanadoo.fr/fabien.besnard/vulg/tout/les axiomes de hilbert.html

Les problème de l'arithmétique, de la géométrie algébrique et de la théorie des ensembles sont beaucoup plus difficiles à reconstruire axiomatiquement. Ils firent l'objet des célèbres 23 problèmes ouverts cités au congrès de 1900.