[Mpsi]Suite

a) entier non nul, montrer que l'équation admet une unique solution réelle positive
b) Montrer que la suite converge vers à préciser
c) Montrer que est équivalent à une expression de la forme Bon courage

a) on pose

f(x)=x^n +x^2 -1

on a f est strictement croissante

et de plus f(0)=-1<0 et lim(x-->+00) f=+00>0

ainsi d apres le TVI (theoreme des valeurs intermediaires) il existe une unique solution pour f(x)=0 sur [0;+00[

alors il existe une unique solution pour x^n+x^2=1 sur [0;+00[

cooool ,plus précisement la solution est comprise entre 0 et 1

Chifo a écrit:

plus précisement la solution est comprise entre 0 et 1

t as tt a fait raison car f(1)>0 et f(0)<0

mais j ai l habitude d utiliser les limites pour ne pas s agacer à chercher les valeurs de f positives et negatives

ke veux tu designer par la suite (X_n)

la solution de l'equation

ok ,merci

on pose f_n(x)=x^n+x^2

c est clair ke f_n+1 < f_n pour x £ [0;1]


d ou f_n+1(x_n)<1
OR 1=f_n+1(x_n+1)

ainsi f_n+1(x_n)<f_n+1(x_n+1)

puisque f est continue et strictement croissante alors f est une bijection

ainsi x_n<x_n+1 càd x_n est croissante
et puisque il est majoré par 1 donc

il converge vers une limite l £[0;1]

voici une methode pour determiner sa limite

lim(n-->+00)x^n +x^2 = x^2

donc pour x soit une solution avec n tres grand il faut k il soit egal à 1
ainsi la limite de x_n est 1
CQFD