jolie -inegalite

Soient x1,x2,x3...,xn des élements de [0,1] Mq: (1-x1)(1-x2)...(1-xn)<=1-x1x2...xn

soit S=somme des x_i
(1-x1)(1-x2)...(1-xn)+x1x2...xn<= [(somme des x_i)/n]^n +[(somme des 1-x_i)/n]^n
donc (1-x1)(1-x2)...(1-xn)+x1x2...xn<= (S/n)^n +(1-(S/n))^n
et on a (S/n)^n +(1-(S/n))^n<= (S/n) +(1-(S/n))=1 car S/n,1-(S/n) dans [0,1]

Sinchy a écrit:

Soient x1,x2,x3...,xn des élements de [0,1] Mq: (1-x1)(1-x2)...(1-xn)<=1-x1x2...xn

salut
je crois que la fct x-->ln(1-e^x) / dans R- peux servir
en fait f concave ==>
alors f[(sum ln(xi)/n)]>= [sum f(ln(xi)]/n
==> n.ln(1-[n]sqrt(x1x2..xn))>=lnprod{(1-xi)}
==>(1-(n]sqrt(x1x2..xn))^n>=prod(1-xi) $
et on a (1-[n]sqrt(x1x2..xn))^n=<1-sqrt(x1x2.xn) $$
en fait on considere la fct defini sur [0;1]
g(x)=1-x^n-(1-x)^n
g'(x)=-nx^[n-1]+n(1-x)^[n-1]=n[1-2x][A(x)] tel que A(x)>0 (a^n-b^n=..)
==> g(x)>=g(0)=0 ( g(1)=0 )
prenons x=[n]sqrt(x1x2..xn) d'ou linegalité $$

puis on deduit de $ et $$ ^^ je crois
nota : [n]sqrt(x)= la racine neme de x

slt tt le monde
voici mon aproche
on va proceder par recurrence
pour n=1 on a 1-x1<=1-x1
on suppose que (1-x1)(1-x2)...(1-xn)<=1-x1x2...xn
on a donc : (1-x1)(1-x2)...(1-xn)(1-x(n+1))<=(1-x1x2...xn)(1-x(n+1))
il nous reste a prouver que :
(1-x1x2...xn)(1-x(n+1))<=1-x1...x(n+1)
qui est equivalent a :2x1...x(n+1)<=x1...xn+x(n+1)
or 2rac(x1...x(n+1))<=x1...xn+x(n+1)
et puisque x1,x2,x3...,xn des élements de [0,1]
on conclut l'inegalite desiree
recurrence achevee.