Nouvelle démonstration de la proposition 26.Liber X. des éléments d’Euclide
Je vous propose ici une nouvelle démonstration de la proposition 26.Liber X des éléments d’Euclide, laquelle nouvelle démonstration est complètement de notre propre conception. Mais il faut d’abord que je vous en donne, et l’énoncé, et la démonstration même d’Euclide :
Proposition 26.liber X
Le rectangle compris sous des droites médiales commensurables en puissance seulement, est ou rationnel ou médial.
Démonstration :
Que le rectangle AF soit compris sous les droites médiales AB, BF, commensurables en puissance seulement ; je dis que AF est ou rationnel ou médial.
Car décrivons sur les droites AB, BF les quarrés AD, BE ; chacun des quarrés AD, BE sera médial. Soit la rationnelle ZH ; appliquons à ZH le parallélogramme rectangle HO, qui ayant ZO pour largeur, soit égal à AD ; appliquons aussi à OM le parallélogramme rectangle MK, qui ayant OK pour largeur, soit égal à AF, et enfin appliquons semblablement à KN le parallélogramme rectangle NV, qui ayant KV pour largeur, soit égal à BE (45.I) ; les droites ZO, OK, KV seront en ligne droite (14.I). Puisque chacun des quarrés AD, BE est médial ; que AD est égal à HO, et BE égal à NV, chacun des rectangles HO, NV sera médial ; mais ils sont appliqués sur la rationnelle ZH ; donc chacune des droites ZO, KV est rationnelle et incommensurable en longueur avec ZH (23.X). Mais AD est commensurable avec BE ; donc HO est commensurable avec NV. Mais HO est à NV comme ZO est à KV (1.VI) ; donc ZO est commensurable en longueur avec KV (10.X) ; donc les droites ZO, KV sont des rationnelles commensurables en longueur ; le rectangle sous ZO, KV est donc rationnel. Et puisque BD est égal à BA, et XB égal à BF, DB sera à BF comme AB est à BX ; mais DB est à BF comme DA est à AF, et AB est à BX comme AF est à FX (1.VI) ; donc DA est à AF comme AF est à FX. Mais AD est égal à HO, AF égal à MK, et FX égal à NV ; donc HO est à MK comme MK est à NV ; donc ZO est à OK comme OK est à KV ; le rectangle compris sous ZO, KV est donc égal au quarré de OK (17.VI). Mais le rectangle sous ZO, KV est rationnel (20.X) ; donc le quarré de OK est rationnel ; donc la droite OK est rationnelle. Et si OK est commensurable en longueur avec ZH, la surface ON sera rationnelle. Mais si OK est incommensurable en longueur avec ZH, la surface ON sera rationnelle. Mais si OK est incommensurable en longueur avec ZH, les droites KO, OM seront des rationnelles commensurables en puissance seulement, et la surface ON sera médiale (22.X) ; donc ON est rationnel ou médial. Mais ON est égal à AF ; donc AF est ou rationnel ou médial. Donc, etc.
Lun 9 Juil - 14:52