jolie-inegalité

soient a, b et c trois réels strictement positifs, montrer que :
1/(a(a+b)) +1/(b(b+c))+1/(c(c+a))>= 27/(2(a+b+c)²)

on peut la faire on utilisant MA-MG en 3 temps

la premiere fois on l 'apllique directemenyt sur
1/a(a+b) +1/b(b+c) +1/a(a+c) >=3(1/abc(a+b)(b+c)(a+c))^1/3 (*)

la seconde fois sur a+b+c >=3(abc)^1/3 ==>1/a+b+c <=1/3(abc)^1/3

et la derniere fois sur
(a+b)+(b+c)+(c+a)>=3((a+b)(b+c)(c+a))^1/3

d ou
3/(2(a+b+c)) <=1/((a+b)(b+c)(a+c))^1/3

ainsi
1/((a+b)(b+c)(a+c))^1/3 * (abc)^1/3 >=9/(2(a+b+c)^2)

et en remplacant ds (*)
1/a(a+b) +1/b(b+c) +1/a(a+c) >=27/(2(a+b+c)^2)

Bravo Riemann , [color=black]3 fois [color:71a7=#000000:71a7]MA-MG