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 Primitives, intégrales et dérivées

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Nom complet: Ahmed Cherif

MessageSujet: Primitives, intégrales et dérivées   Ven 20 Avr - 11:02

On sait que si une fonction est fonction définie sur un segment , alors il existe une fonction intégrable sur (au sens de Lebesgue) telle que pour tout , si et seulement si est absolument continue sur .

Maintenant, on considère une fonction intégrable sur (au sens de Lebesgue) et on définit la fonction sur par : . On sait donc que est absolument continue. Les questions sont :

1) A quelles conditions (sur ) la fonction est-elle dérivable ?
2) Quelles conditions supplémentaires (sur ) faut-il ajouter pour que sa dérivée soit ?

Pour la question 2, on sait déjà que doit vérifier le théorème des valeurs intermédiaires (comme toute fonction dérivée) : c'est donc une condition nécessaire (mais qui n'est pas suffisante). De même, le fait que soit continue est une condition nécessaire mais non suffisante.

La fonction doit être intégrable, vérifier un peu plus que le théorème de valeurs intermédiaires sans pour autant devoir être continue. Peut-on trouver une caractérisation plus précise de ce type de fonctions ?

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