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 [Mpsi]Espace vectorielle, Propriété a savoir

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Chifo
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MessageSujet: [Mpsi]Espace vectorielle, Propriété a savoir   Mar 27 Mar - 13:31

On Considére deux endomorphismes f et g d'un espace vectoriel de E de Dimension finie tels que:
f+g bijectif et f o g = 0

Démontrez que rg f + rg g = n

_________________
Beaucoup de gens très intelligents sont mauvais en maths et ne surmontent jamais vraiment d'avoir des lacunes dans un domaine aussi important.
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MessageSujet: Re: [Mpsi]Espace vectorielle, Propriété a savoir   Ven 6 Avr - 3:50

soit x dans Ker(f) inter Ker(g).
donc (f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0
donc x=0 car f+g bijectif .
par suite Ker(f) inter Ker(g)={0}
donc (1): dim(Ker(f)+Ker(g))=dim(ker(f))+dim(ker(g))

en plus f o g = 0 donc Im(g) inclus dans Ker(f)
donc rg(g)<=dim(ker(f))
n-dim(ker(g))<=dim(ker(f))
(2): dim(ker(f))+dim(Ker(g))>=n.

de (1) et (2) on a dim(Ker(f)+Ker(g))>=n
donc dim(Ker(f)+Ker(g))=n.
donc dim(ker(f))+dim(ker(g))=n
n-rg(f)+n-rg(g)=n
rg(f)+rg(g)=n
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