Probléme de la semaine N°3

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

mpsichifo@hotmail.com


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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci


قل بسم الله،و توكل على الحي الذي لا يموت،عساه يجعل لك مخرجا

slt a tout le monde
solution postee

ceci c'est la solution de Cherif
slt Mr chifo
voila ma solution
1-methode
on definie (Sn) et (Sn') par
Sn=sum 0-n 1/k! et S'n=Sn+1/nn!
ona Sn+1-Sn=1/(n+1)! >0 ===> (Sn) est croissante
ona S'n+1-S'n=-1/n(n+1)(n+1)!<0 ====> (S'n) est decroissante
avce Sn<S'n ===> (Sn) et (S'n) snt a djacents dnc convergent vers memes limite on la note l
supposons l£Q : l=p/q avec p,q £ IN
dnc Sq<p/q<S'q multiplions par qq! dnc N <pq!<N+1 avec N £iN ce qui est absurde
dnc l est irrationnel dnc l =e
2-methode
je vois qu'il ya plr methode
mais on a obligatoir de suivre la premiere methode
par exe In=int(1-x)^n/n!e^xdx ===> on trouve l'expression de de In+1 en fct de In comme la 1- methode
et merci

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pour quoi l=e ? pour quoi pas pi

j'ai pas voulu repondre mais il le faut!
en générale pour tout x>o on a :
e^x= 1+x+x²/2+...+x^n/n!+ int(0^x (x-t)^n*e^t/n! dt) (FTRI)
à verifier par recurrence sur n.
on demontre que lim ((int(0]x, (x-t)^n*e^t/n! dt) =0 et conclure.

slt a tout le monde
pou aissa
tu as raison
(Sn) et (S'n) ont la meme limite l=e
on mq e n £ pas Q et pour cela on raisone par l'absurde
e=p/q p,q £ Z,IN*
mq Sq<e< S'q puis qq!Sq< pq!<qq!Sq+1
or pq! £ Z et qq!Sq =qsum(0->n q!/k!)£Z absurde
le DL