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 La Saga des Coniques !

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MessageSujet: La Saga des Coniques !   Dim 18 Mar - 11:17

Les Coniques !

I. Terminologie:

En français : Conique (Abréviation de "Section Conique")
En anglais : Conic section
En allemand : Kegelschnitt


II. Aperçu Historique:

Courbe étudiée par Menechme en 400 avant J.C. puis par Archimède, Apollonius, Kepler etc...


III. Définitions:

La définition actuelle d’une conique est d’être une courbe algébrique du deuxième degré.
Cette définition englobe les cas de dégénérescence (dans le plan euclidien : ensemble vide, point, réunion de deux droites) et permet d’affirmer que les coniques sont les sections planes de quadriques.
Dans cet article , le mot "conique" désigne uniquement les cas non dégénérés, ou "propres" : ellipse, parabole, hyperbole.

Avec cette acception, voici diverses définitions géométriques des coniques :

1) Définition des Grecs:

Les coniques sont les sections d’un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet.

2) Définition par foyer et directrice:

Les coniques sont des cercles cercle ou les lieux des points dont le rapport des distances à un point fixe (le foyer F) et à une droite fixe (la directrice (D)) est constant (égal à l’excentricité e) ; les ellipses sont obtenues pour e < 1, la parabole pour e = 1, les hyperboles pour e > 1.

Ce n'est qu'en 1822 que Dandelin a relié ces deux premières définitions en montrant que les foyers et les directrices sont obtenus à l'aide des deux sphères inscrites :



3) Définition par courbe d'équidistance entre un point et un cercle généralisé:

Les coniques sont les lieux des points équidistants d’un point fixe (le foyer) et d’un cercle ou d'une droite (C) (le cercle directeur ou la directrice), c'est à dire les isotèles de cercle généralisé ; autrement dit, ce sont les lieux du centre d’un cercle variable astreint à passer par un point fixe et à être tangent à (C).
Lorsque le foyer est intérieur au cercle, on obtient les ellipses, extérieur les hyperboles, et lorsque (C) est une droite : la parabole.

Plus généralement, les lieux des centres de cercles tangents à deux cercles généralisés de rayons distincts sont des réunions de deux coniques.

4) Définition par orthocaustique de cercle ou droite:

Les coniques sont les orthocaustiques (ou antipodaires) d’un cercle ou d'une droite (C') (le cercle principal ou la tangente au sommet).

Lorsque la source lumineuse, qui est aussi le foyer de la conique, est intérieure au cercle, on obtient les ellipses, extérieure, les hyperboles, et lorsque (C') est une droite : la parabole.

Les coniques sont donc aussi les enveloppes de la médiatrice d'un segment joignant un point à un cercle ou une droite (le cercle directeur ou la directrice) (autrement dit, ce sont les courbes dont l’orthotomique est un cercle ou une droite).

5) les coniques sont les anticaustiques de droite:

La première définition a plusieurs implications dans la vie courante : par exemple le bord de la trace lumineuse que fait une lampe à abat-jour ou une lampe de poche sur un mur est une conique.





Un cercle vu en perspective est une conique ; c'est une ellipse, une parabole ou une hyperbole suivant que l'observateur est à l'extérieur, sur ou à l'intérieur du cercle.
Un observateur situé au point (0, - d, h) regarde le cercle trigonométrique : quand il se rapproche du cercle, il voit d'abord une ellipse de grand axe parallèle à Ox , puis un cercle (cas d² = h² + 1), puis une ellipse de grand axe parallèle à Oy, puis une portion de parabole (cas d = 1) , et enfin une portion d' hyperbole.





Inversement, un observateur qui regarde la parabole y = x² voit, lui, une ellipse !

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Dernière édition par le Dim 18 Mar - 11:32, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: La Saga des Coniques !   Dim 18 Mar - 11:29

Encore des Coniques !


Les premiers travaux significatifs sur les coniques remontent à Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?) et à Ménechme (milieu du IVème siècle avant J.C.) et seront très largement développés par Apollonius de Perge (-262 ; -190) dans son oeuvre "Les coniques".


Apollonius étudie et nomme les trois types de coniques :

- l'ellipse (du grec elleipein : manquer),
- la parabole (du grec parabolê : para = à côté ; ballein = lancer),
- l'hyperbole (du grec huperbolê : huper = au dessus ; ballein = lancer).

Il décrit leur construction à partir d'un cône de révolution coupé par un plan.



Pour comprendre le principe des sections coniques, il suffit de réaliser dans la pénombre une expérience simple à l'aide d'une lampe à abat-jour.
En inclinant l'abat-jour face à un mur, on projette un cône de lumière. Le mur est assimilé au plan de coupe.







1er cas : Toutes les génératrices du cône rencontrent le mur.
Le cône de lumière se projette en une ellipse.
Dans le cas particulier où l'axe du cône est perpendiculaire au mur, l'ellipse est un cercle.






2ème cas : Une génératrice du cône est parallèle au mur.
Le cône de lumière se projette en une parabole.



3ème cas : Des génératrices du cône ne rencontrent pas le mur et dans ce cas un deuxième cône de lumière intercepte le mur.
Les cônes de lumière se projettent en une hyperbole.



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