[Mpsi]Intégrales et inégalités

1° Soit I=[0,1],(x1,x) £ I² et f £ C(I,IR),Montrer que

(Int( x1 -> x ) f(t)dt)² < (x-x1) Int ( x1 -> x )f²(t)dt

2° Soit f de classe C1 Sur I et x,x1 dans I . Montrer que

f(x)=f(x1)+Int( x1 -> x ) f'(t)dt et f²(x) < 2 f²(x1)+2(x-x1)Int( x1 -> x ) f'²(t)dt

1-) cauchy-swartz pour 2-)f(x)-f(x1)=integral(x1->x)f'(t)dt elever le carre puis cauchy-swartz

2-) ou bient utiliser : qlq a,b £ IR (a+b)²<=2(a²+b²)