Forum Des Pro Matheux

En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue.
 
AccueilPortailCalendrierFAQRechercherS'enregistrerMembresGroupesConnexion

Partagez | 
 

 La théorie des nombres

Aller en bas 
AuteurMessage
Mosnip
Taupin niveau expert
Taupin niveau expert
avatar

Nombre de messages : 124
Age : 30
Localisation : Oujda
Date d'inscription : 28/01/2007

Feuille de personnage
texte:
Nom complet: Mosnip

MessageSujet: La théorie des nombres   Dim 28 Jan - 9:05

Début de la théorie des nombres en Europe


La théorie des nombres en Europe commence aux 16ème et 17ème siècles par les travaux de Viète, Bachet de Méziriac et surtout Fermat. Au 18ème siècle, Euler et Lagrange contribuèrent à la théorie, vers la fin du siècle, le sujet commence à prendre une forme scientifique à travers les grands travaux de Legendre (1798) et Gauss (1801). Avec ce dernier et son ouvrage, les Disquisitiones arithmeticae (1801), on peut dire que la théorie moderne des nombres commence.

Tchebychev (1850) donna des limites très utilisées pour les nombres premiers entre deux nombres donnés. Riemann (1859) conjectura que la limite de la densité des nombres premiers n'excède pas une fonction donnée (le théorème des nombres premiers), introduisit l'analyse complexe dans la théorie de la fonction ζ de Riemann, et en déduisit la formule des nombres premiers à partir de ses zéros.

L'arithmétique modulaire a réellement débuté avec les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Il introduisit le symbolisme suivant :


et explora la plus grande partie de ce domaine. Il généralise la théorie à d'autres anneaux de celui des entiers relatifs et découvre le premier ensemble d'entiers algébriques : les entiers de Gauss. Tchebychev publia en 1847 un travail en russe sur le sujet, et en France Serret le popularisa.

A côté du travail résumé précédemment, Legendre établit les premiers cas d'application loi de réciprocité quadratique. Cette loi, découverte par induction et énoncée par Euler, fut prouvée en premier par Legendre dans sa Théorie des Nombres (1798) pour des cas exceptionnels. Indépendamment d'Euler et Legendre, Gauss découvrit la loi vers 1795, et fut le premier à en donner une preuve générale. Au sujet contribuèrent aussi : Cauchy ; Dirichlet son Vorlesungen über Zahlentheorie est un classique ; Jacobi, qui introduisit le symbole de Jacobi ; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La théorie s'étendit pour inclure la réciprocité biquadratique et cubique, (Gauss, Jacobi qui fut le premier à prouver la loi de réciprocité cubique, et Kummer).

On doit aussi à Gauss la représentation des nombres par des formes quadratiques binaires. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue (?) (1859, 1868), et notablement Hermite ont contribué à ce sujet. Dans la théorie des formes ternaires, Eisenstein a été un chef de file, et grâce à lui et aussi à H. J. S. Smith, on doit une avancée remarquable dans la théorie des formes en général. Smith donna une classification complète des formes quadratiques ternaires, et étendit les recherches de Gauss concernant les formes quadratiques réelles vers les formes complexes. Les recherches concernant la représentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 carrés furent approfondies par Eisenstein et la théorie fut complétée par Smith.

Dans l'histoire de la théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat joue un rôle à part, en raison des efforts considérables, étalés sur plus de trois cents ans, des mathématiciens du monde entier pour en apporter la preuve (ou la négation). Ce théorème affirme que pour n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z vérifiant :

.
Pierre de Fermat lui-même en apporta la preuve dans le cas particulier n = 4. Euler, en 1753, le démontra presque pour n = 3, introduisant dans sa preuve les nombres imaginaires. En 1825, Dirichlet et Legendre démontrent le cas n = 5, en utilisant une avancée décisive de la française Sophie Germain (cf Démonstrations du dernier théorème de Fermat). Lamé résout le cas n = 7 en 1839. Ces différents cas sont résolus à l'aide de structure d'anneaux euclidien de la même nature que les entiers de Gauss, ce sont les anneau d'entiers d'Eisenstein et d'entiers de Dirichlet. Kummer en 1847 prouve le théorème lorsque l'exposant n est un nombre premier régulier, et ouvre la théorie de idéaux. À la fin du XIXième et au début du XXe siècle, les mathématiciens délaissent le grand théorème de Fermat pour se consacrer aux fondements des mathématiques. En 1955, les japonais Taniyama et Shimura émettent l'hypothèse d'un lien profond entre les fonctions elliptiques et les formes modulaires, deux domaines a priori très éloignés des mathématiques. Mais la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si elle est vraie, a pour conséquence le grand théorème de Fermat. C'est Andrew Wiles qui prouvera cette conjecture en 1994 avec l'aide de Richard Taylor, et apportera une réponse définitive au célèbre problème.

Parmi les derniers auteurs français se trouvent Borel, Poincaré (leurs mémoires sont nombreux et de grande valeur), Tannery, et Stieltjes. Parmi les plus grands contributeurs en Allemagne se trouvent Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche, le travail de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), et en Angleterre Mathews, sa 'Théorie des nombres (Part I, 1892)' est l'un des plus érudits des travaux généraux. Genocchi, Sylvester, et Glaisher ont aussi participé à la théorie.

_________________
Ça n'est pas parce que les choses sont difficiles
que nous n'osons pas, c'est parce que nous n'osons pas
qu'elles sont difficiles.................
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Chifo
Admin
Admin
avatar

Nombre de messages : 607
Age : 30
Localisation : Oujda
Date d'inscription : 15/11/2006

Feuille de personnage
texte:
Nom complet: Ahmed Cherif

MessageSujet: Re: La théorie des nombres   Dim 28 Jan - 9:09

Merci
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://mpsimaths.bbactif.com
 
La théorie des nombres
Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» Théorie sur la kabbale, la notion de cycle en haute magie (adam)
» >>>>> Quelle est la mission du Mafy ?
» Ecole de Recherche CIMPA-Tipaza, Théorie des nombres et Applications (2016)
» Théorie des 5 éléments chinois
» Les nombres décimaux

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum Des Pro Matheux :: Histoire des maths :: Histoire des maths-
Sauter vers: