Théorème de Bolzano-Weierstrass

dans un ecpace complet! dans Q non,!!
1 ier cas { Xn /n entier }est fini.alors (Xn)prend une infinité de fois une valeur fixée..
si non on peut extraire une sout suite strictement monotone ..

soit (Un) une suite reelle bornne
==> il existe a0 et b0 et qlq n £ N a0<= Un<=b0
on pose C0 =a0+b0/2
[a0,C0] et [C0,b0] contient une infinite de Un
ainssi de suite
et on construit apllication F : IN--->IN avec F(0)=0 et U_F(0)=U0 £[a0.b0] ===> an <=U_F(n)<=bn sous suite
or limite de an=limite de bn=l ====> limite U_F(n)=l

pour la sous suite il ya deux cas a discuter
meme F si nn on extre une sous suite